Question

3．若对任意的正实数t，函数f（x）=（x-t）³+（x-lnt）³-3ax在R上都是增函数，则实数a的取值范围是（　　）

• A． $（-∞，\frac{1}{2}]$
• B． $（-∞，\frac{{\sqrt{2}}}{2}]$
• C． $（-∞，\sqrt{2}]$
• D． （-∞，2]

Answer 1

分析 利用f（x）=（x-t）³+（x-lnt）³-3ax在R上都是增函数，可得f′（x）=3（x-t）²+3（x-lnt）²-3a≥0在R上恒成立，分离参数a≤（x-t）²+（x-lnt）²，再求出右边的最小值，即可得出结论．

解答 解：∵f（x）=（x-t）³+（x-lnt）³-3ax在R上都是增函数，
∴f′（x）=3（x-t）²+3（x-lnt）²-3a≥0在R上恒成立，
∴a≤（x-t）²+（x-lnt）²，
（x-t）²+（x-lnt）²=2（x-$\frac{t+lnt}{2}$）²+$\frac{（t-lnt）^{2}}{2}$≥$\frac{（t-lnt）^{2}}{2}$，
令y=t-lnt，则y′=1-$\frac{1}{t}$，
∴（0，1）上，y′＜0，（1，+∞）上，y′＞0，
∴t=1时，y_min=1，
∴$\frac{（t-lnt）^{2}}{2}$的最小值为$\frac{1}{2}$，
∴a≤$\frac{1}{2}$，
故选：A．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，正确分离参数求最值是关键．