Question

12．国家AAAAA级八里河风景区五一期间举办“管仲杯”投掷飞镖比赛．每3人组成一队，每人投掷一次．假设飞镖每次都能投中靶面，且靶面上每点被投中的可能性相同．某人投中靶面内阴影区域记为“成功”（靶面正方形ABCD如图所示，其中阴影区域的边界曲线近似为函数y=Asinx的图象）．每队有3人“成功”获一等奖，2人“成功”获二等奖，1人“成功”获三等奖，其他情况为鼓励奖（即四等奖）（其中任何两位队员“成功”与否互不影响）．
（Ⅰ）求某队员投掷一次“成功”的概率；
（Ⅱ）设X为某队获奖等次，求随机变量X的分布列及其期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意，求出矩形和阴影部分的面积，利用几何概型公式解答；
（Ⅱ）明确X的取值，分别求出随机变量对应的概率，列出分布列，求期望．

解答 解：（Ⅰ）由题意知：S_矩形=10×10=100，${S}_{阴影}=2{∫}_{0}^{π}5sinxdx$=20，
记某队员投掷一次“成功”事件为A，
则P（A）=$\frac{{S}_{阴影}}{{S}_{矩形}}=\frac{20}{100}=\frac{1}{5}$…．（5分）
（Ⅱ）因为X为某队获奖等次，则X取值为1、2、3、4．
$P（X=1）=C_3^3{（{\frac{1}{5}}）^3}•{（1-\frac{1}{5}）^0}=\frac{1}{125}$，P（X=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{1}{5}）^{2}（1-\frac{1}{5}）=\frac{12}{125}$，
P（X=3）=${C}_{3}^{1}\frac{1}{5}（1-\frac{1}{5}）^{2}=\frac{48}{125}$，P（X=4）=${C}_{3}^{0}（1-\frac{1}{5}）^{3}=\frac{64}{125}$…．（9分）
即X分布列为：

X	1	2	3	4
P（X）	$\frac{1}{125}$	$\frac{12}{125}$	$\frac{48}{125}$	$\frac{64}{125}$

…（10分）
所以，X的期望EX=1×$\frac{1}{125}$+2×$\frac{12}{125}$+3×$\frac{48}{125}$+4×$\frac{64}{125}$=$\frac{17}{5}$…（12分）

点评 本题考查了几何概型的运用以及随机变量的分布列和期望．