Question

20．某校为了丰富学生的课余生活，决定在每周的星期二、星期四的课外活动期间同时开设先秦文化、趣味数学、国学和网络技术讲座，每位同学参加每个讲座的可能性相同．若参加讲座的人数达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座，统计数据表明，各讲座的概率如表：

星期	先秦文化	趣味数学	国学	网络技术
星期二	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{2}{3}$
星期四	$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$

根据上表：
（1）求趣味数学讲座在星期二、星期四都不满座的概率；
（2）设星期四各讲座满座的科目为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）由图表可得星期二、星期四满座的概率，然后由对立事件及相互独立事件的概率得答案．
（2）由题意可知ξ的所有取值为：0，1，2，3，4．然后利用相互独立事件和互斥事件的概率求得概率，列出频率分布表，再由期望公式求得期望．

解答 解：（1）设趣味数学讲座在星期二、星期四都不满座为时间A，则
P（A）=$（1-\frac{1}{3}）（1-\frac{1}{2}）=\frac{1}{3}$．
（2）由题意可知ξ的所有取值为：0，1，2，3，4．
P（ξ=0）=$（1-\frac{1}{2}）^{3}（1-\frac{2}{3}）=\frac{1}{24}$，
P（ξ=1）=${C}_{3}^{1}•\frac{1}{2}•（\frac{1}{2}）^{2}（1-\frac{2}{3}）+\frac{2}{3}•（\frac{1}{2}）^{3}=\frac{5}{24}$，
P（ξ=2）=${C}_{3}^{2}•（\frac{1}{2}）^{2}•\frac{1}{2}•（1-\frac{2}{3}）+\frac{2}{3}•{C}_{3}^{1}•\frac{1}{2}•（\frac{1}{2}）^{3}=\frac{3}{8}$，
P（ξ=3）=${C}_{3}^{3}•（\frac{1}{2}）^{3}•（1-\frac{2}{3}）+\frac{2}{3}•{C}_{3}^{2}（\frac{1}{2}）^{2}•\frac{1}{2}=\frac{7}{24}$，
P（ξ=4）=$\frac{2}{3}•（\frac{1}{2}）^{3}=\frac{1}{12}$．
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3	4
P	$\frac{1}{24}$	$\frac{5}{24}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{7}{24}$	$\frac{1}{12}$

故ξ的期望为Eξ=0×$\frac{1}{24}+1×\frac{5}{24}+2×\frac{3}{8}+3×\frac{7}{24}+4×\frac{1}{12}=\frac{13}{6}$．

点评 本小题主要考查概率、概率与统计等基础知识，考查推理论证能力、数据处理能力、运算求解能力及应用意识，属中档题．