Question

3．已知f（x）=x+xlnx，若k∈z，且k（x-2）＜f（x）对任意x＞2恒成立，则k的最大值是4．

Answer 1

分析 由题意化简k（x-2）＜f（x）为k＜$\frac{f（x）}{x-2}$=$\frac{x+xlnx}{x-2}$；再令F（x）=$\frac{x+xlnx}{x-2}$，从而求导F′（x）=$\frac{（1+lnx+x•\frac{1}{x}）（x-2）-（x+xlnx）}{（x-2）^{2}}$=$\frac{x-2lnx-4}{（x-2）^{2}}$；再令g（x）=x-2lnx-4，从而求导g′（x）=1-$\frac{2}{x}$＞0，从而可得g（x）在（2，+∞）上是增函数，再由零点判定定理可得存在x₀∈（8，9），使g（x₀）=0，即2lnx₀=x₀-4；从而求函数F（x）=$\frac{x+xlnx}{x-2}$的最小值，从而解得．

解答 解：∵x＞2，
∴k（x-2）＜f（x）可化为k＜$\frac{f（x）}{x-2}$=$\frac{x+xlnx}{x-2}$；
令F（x）=$\frac{x+xlnx}{x-2}$，
则F′（x）=$\frac{（1+lnx+x•\frac{1}{x}）（x-2）-（x+xlnx）}{（x-2）^{2}}$=$\frac{x-2lnx-4}{（x-2）^{2}}$；
令g（x）=x-2lnx-4，则g′（x）=1-$\frac{2}{x}$＞0，
故g（x）在（2，+∞）上是增函数，
且g（8）=8-2ln8-4=2（2-ln8）＜0，g（9）=9-2ln9-4=5-2ln9＞0；
故存在x₀∈（8，9），使g（x₀）=0，即2lnx₀=x₀-4；
故F（x）=$\frac{x+xlnx}{x-2}$在（2，x₀）上是减函数，在（x₀，+∞）上是增函数；
故F_min（x）=F（x₀）=$\frac{{x}_{0}+{x}_{0}\frac{{x}_{0}-4}{2}}{{x}_{0}-2}$=$\frac{{x}_{0}}{2}$；
故k＜$\frac{{x}_{0}}{2}$；
故k的最大值是4；
故答案为：4．

点评 本题考查了导数的综合应用及函数零点判定定理的应用，属于中档题．