Question

18．若一个数列各项取倒数后按原来的顺序构成等差数列，则称这个数列为调和数列．已知数列{a_n}是调和数列，对于各项都是正数的数列{x_n}，满足x₁=2，x₁+x₂+x₃=14，${（{x}_{n}）}^{{a}_{n}}$=${（{x}_{n+1}）}^{{a}_{n+1}}$=${（{x}_{n+2}）}^{{a}_{n+2}}$（x∈N⁺），则数列{x_n}的通项公式为2ⁿ．

Answer 1

分析 由题设条件知a_nlgx_n=a_n+1lgx_n+1=a_n+2lgx_n+2．设a_nlgx_n=a_n+1lgx_n+1=a_n+2lgx_n+2=p，有$\frac{2p}{{a}_{n+1}}$=$\frac{p}{{a}_{n}}$+$\frac{p}{{a}_{n+2}}$，由此导出x_n+1²=x_nx_n+2，所以数列{x_n}是等比数列，再根据等比数列的定义，求出通项即可．

解答 解：∵数列{x_n}中各项都是正数，
∴a_nlgx_n=a_n+1lgx_n+1=a_n+2lgx_n+2．
设a_nlgx_n=a_n+1lgx_n+1=a_n+2lgx_n+2=p，
∴$\frac{p}{{a}_{n}}$=lgx_n，$\frac{p}{{a}_{n+1}}$=lgx_n+1，$\frac{p}{{a}_{n+2}}$=lgx_n+2，
∵{a_n}的各项取倒数后按原来顺序构成等差数列，故a_n≠0，
∴$\frac{2p}{{a}_{n+1}}$=$\frac{p}{{a}_{n}}$+$\frac{p}{{a}_{n+2}}$．
∴2lgx_n+1=lgx_n+lgx_n+2，
∴lgx_n+1²=lg（x_nx_n+2）．
∴x_n+1²=x_nx_n+2，
∴数列{x_n}是等比数列．
设{x_n}的公比为q，x₁+x₂+x₃=14，x₁=2，
∴2+2q+2q²=14，
解得q=2，或q=-3（舍去），
∴x_n=2×2^n-1=2ⁿ．
故答案为：2ⁿ．

点评 本题考查了数列的通项公式的求法，求证{x_n}为等比数列是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．