Question

20．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别F₁（-c，0），F₂（c，0），若双曲线上存在点P，使得csin∠PF₁F₂=asin∠PF₂F₁≠0，则该曲线的离心率e的取值范围是（　　）

• A． （1，$\sqrt{2}$）
• B． $（{1，\sqrt{2}}]$
• C． $（{1，\sqrt{2}+1}]$
• D． $（1，\sqrt{2}+1）$

Answer 1

分析 不防设点P（x，y）在右支曲线上，并注意到x≥a．利用正弦定理求得$\frac{sin∠P{F}_{1}{F}_{2}}{sin∠P{F}_{2}{F}_{1}}=\frac{P{F}_{2}}{P{F}_{1}}$，进而根据双曲线定义表示出|PF₁|和|PF₂|代入，可求得e的范围．

解答 解：不妨设P（x，y）在右支曲线上，此时x≥a，
由正弦定理得$\frac{sin∠P{F}_{1}{F}_{2}}{sin∠P{F}_{2}{F}_{1}}=\frac{P{F}_{2}}{P{F}_{1}}$，所以$\frac{P{F}_{2}}{P{F}_{1}}$=$\frac{a}{c}$，
∵双曲线第二定义得：|PF₁|=a+ex，|PF₂|=ex-a，
∴$\frac{ex-a}{ex+a}$=$\frac{a}{c}$⇒x=$\frac{a（a+c）}{ec-ea}$＞a，
分子分母同时除以a，得：$\frac{a+c}{{e}^{2}-e}$＞a，
∴$\frac{1+e}{{e}^{2}-e}$＞1解得1＜e＜$\sqrt{2}$+1，
故答案为：D．

点评 本题主要考查了双曲线的应用．考查了学生综合运用所学知识解决问题能力．