Question

8．已知函数f（x）=|x²-1|+x²+kx，x∈[0，2]．
（1）求关于x的方程f（x）=kx+3在区间[0，2]上的解；
（2）若f（x）在其定义域上的最大值为9，求实数k的值．

Answer 1

分析 （1）先根据题意将函数化成分段函数，然后将方程化简即可求解；
（2）主要是讨论一次函数和二次函数的单调性，然后分别求出最值，大中取大，注意讨论的前提．

解答 解：由题意得函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1+kx，x∈[0，1]}\\{2{x}^{2}+kx-1，x∈（1，2]}\end{array}\right.$$\underset{\stackrel{①}{\;}}{②}$
（1）由f（x）=kx+3结合f（x）的解析式得：
$\left\{\begin{array}{l}{0≤x≤1}\\{1+kx=kx+3}\end{array}\right.$①或$\left\{\begin{array}{l}{1＜x≤2}\\{2{x}^{2}+kx-1=kx+3}\end{array}\right.$②．
显然①无解，由②得x²=2，所以x=$±\sqrt{2}$，负值舍去，故x=$\sqrt{2}$即为所求．
（2）对于函数函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1+kx，x∈[0，1]}\\{2{x}^{2}+kx-1，x∈（1，2]}\end{array}\right.$$\underset{\stackrel{①}{\;}}{②}$
当k＞0时，由①知该函数在[0，1]上递增，故此时y_max=f（1）=1+k，由②得该函数在[1，2]上递增，故此时y_max=f（2）=7+2k．
所以f（x）_max=f（2）=7+2k=9，解得k=1符合题意．
当k=0时，显然不符合题意；
当-4≤k＜0时，由①知函数此时为减函数，
所以y_max=f（0）=1，由②知该函数在[1，2]上递增，所以此时y_max=f（2）=7+2k，
所以f（x）_max=f（2）=7+2k=9，所以k=1（舍）；
当k＜-4时，由①知函数在[0，1]上的最大值为f（0）=1，
而由②知此时y_max=max{f（1），f（2）}=max{1+k，7+2k}＜1，
所以此时不存在k的值使得f（x）_max=9成立．
综上，当k=1时，f（x）在其定义域上的最大值为9．

点评 本题考查了分段函数的最值的求法，二次函数在指定区间上的最值问题以及分类讨论的思想的方法．