Question

13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知sin（B+A）+sin（B-A）=2sin2A，且c=$\sqrt{7}$，C=$\frac{π}{3}$，则△ABC的面积是（　　）

• A． $\frac{3\sqrt{3}}{4}$
• B． $\frac{7\sqrt{3}}{6}$
• C． $\frac{\sqrt{21}}{3}$
• D． $\frac{3\sqrt{3}}{4}$或$\frac{7\sqrt{3}}{6}$

Answer 1

分析 依题意，可求得B-A=$\frac{2π}{3}$-2A，利用两角差的正弦可求得sin（2A-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，又A∈（0，$\frac{2π}{3}$），可求得A=$\frac{π}{6}$，即可求得△ABC的面积

解答 解：∵在△ABC中，C=$\frac{π}{3}$，
∴B=$\frac{2π}{3}$-A，B-A=$\frac{2π}{3}$-2A，
∵sin（B+A）+sin（B-A）=2sin2A
∴sinC+sin（$\frac{2π}{3}$-2A）=2sin2A，
即sinC+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2A+$\frac{1}{2}$sin2A=2sin2A，
整理得：$\sqrt{3}$sin（2A-$\frac{π}{6}$）=sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴sin（2A-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，又A∈（0，$\frac{2π}{3}$），
∴2A-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$，
解得A=$\frac{π}{6}$，
当A=$\frac{π}{6}$时，B=$\frac{π}{2}$，tanC=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{7}}{a}$=$\sqrt{3}$，解得a=$\frac{\sqrt{21}}{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{21}}{3}$×$\sqrt{7}$=$\frac{7\sqrt{3}}{6}$；
故选：B

点评 本题主要考查正弦定理、两角和差的正弦、余弦公式，二倍角公式的应用，属于中档题