Question

11．若变量x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}x+y-1≥0\\ ax-y+1≥0\\ x-1≤0\end{array}\right.$（a为常数）所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为3．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的区域，利用的平面区域的面积等于2，分别讨论a的取值范围，建立条件关系即可得到结论．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：
∵ax-y+1=0过定点A（0，1），
∴ax-y+1≥0表示直线ax-y+1=0的下方，
若a=0，直线方程为y=1，
则E（1，1），B（1，0），
则此时△ABE的面积S=$\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{2}$，此时不满足条件．
若a＜0，则直线ax-y+1=0的斜率k＜0，
此时对于的△ABF的面积S＜$\frac{1}{2}$，不满足条件，
∴a＞0，
此时对应的三角形区域为ADB，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{ax-y+1=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1+a}\end{array}\right.$，
即D（1，1+a），
则△ADB的面积S=$\frac{1}{2}$×（1+a）×1=2，
即a+1=4，解得a=3，
故答案为：3．

点评 本题主要考查线性规划的应用，作出不等式组对应的平面区域，讨论a的取值范围是解决本题的关键．