Question

14．已知A（-2，0），B（2，0），动点P与A、B两点连线的斜率分别为k_PA和k_PB，且满足k_PA•k_PB=t （t≠0且t≠-1）．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）当t＜0时，曲线C的两焦点为F₁，F₂，若曲线C上存在点Q使得∠F₁QF₂=120°，求t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设出P点坐标，然后利用k_PA•k_PB=t列式求得动点P的轨迹C的方程；
（2）当-1＜t＜0时，曲线C为焦点在x轴上的椭圆，设|PF₁|=r₁，|PF₂|=r₂，则r₁+r₂=2a=4．在△F₁PF₂中，利用余弦定理结合不等式进一步求出t的具体范围；
当t＜-1时，曲线C为焦点在y轴上的椭圆，设|PF₁|=r₁，|PF₂|=r₂，则r₁+r₂=2a=-4 t，在△F₁PF₂中，同样利用余弦定理结合不等式进一步求出t的具体范围．最后取并集得答案．

解答 （1）设点P坐标为（x，y），依题意得$\frac{y}{x+2}•\frac{y}{x-2}$=t，
即y²=t（x²-4），$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{-4t}$=1．
∴轨迹C的方程为$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{-4t}$=1（x≠±2）；
（2）当-1＜t＜0时，曲线C为焦点在x轴上的椭圆，
设|PF₁|=r₁，|PF₂|=r₂，则r₁+r₂=2a=4．
在△F₁PF₂中，|F₁F₂|=2c=4$\sqrt{1+t}$，
∵∠F₁PF₂=120°，由余弦定理，
得4c²=r$_1^2$+r$_2^2$-2r₁r₂cos120°=r$_1^2$+r$_2^2$+r₁r₂
=（r₁+r₂）²-r₁r₂≥（r₁+r₂）²-（$\frac{{{r_1}+{r_2}}}{2}$）²=3a²，
∴16（1+t）≥12，得t≥-$\frac{1}{4}$．
∴当-$\frac{1}{4}$≤t＜0时，曲线上存在点Q使∠F₁QF₂=120°，
当t＜-1时，曲线C为焦点在y轴上的椭圆，
设|PF₁|=r₁，|PF₂|=r₂，则r₁+r₂=2a=-4 t，
在△F₁PF₂中，|F₁F₂|=2c=4$\sqrt{-1-t}$．
∵∠F₁PF₂=120°，由余弦定理，得
4c²=r$_1^2$+r$_2^2$-2r₁r₂cos120°=r$_1^2$+r$_2^2$+r₁r₂=（r₁+r₂）²-r₁r₂≥（r₁+r₂）²-（$\frac{{{r_1}+{r_2}}}{2}$）²=3a²，
∴16（-1-t）≥-12t，解得：t≤-4．
∴当t≤-4时，曲线上存在点Q使∠F₁QF₂=120°．
综上知当t＜0时，曲线上存在点Q使∠AQB=120°的t的取值范围是$（{-∞，-4}]∪[{-\frac{1}{4}，0}）$．

点评 本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的应用，直线与曲线联立，利用方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考试具备较强的运算推理的能力，是压轴题．