Question

6．在平面直角坐标系中，矩阵M对应的变换将平面上任意一点P（x，y）变换为点P（2x+y，3x）．
（Ⅰ）求矩阵M的逆矩阵M^-1；
（Ⅱ）求曲线4x+y-1=0在矩阵M的变换作用后得到的曲线C′的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设点P（x，y）在矩阵M对应的变换作用下所得的点为P′（x′，y′），通过$\left\{\begin{array}{l}{x′=2x+y}\\{y′=3x}\end{array}\right.$可得M=$[\begin{array}{l}{2}&{1}\\{3}&{0}\end{array}]$，进而可得结论；
（Ⅱ）设点A（x，y）在矩阵M对应的变换作用下所得的点为A′（x′，y′），通过$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$=M^-1$[\begin{array}{l}{x′}\\{y′}\end{array}]$可得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{3}y′}\\{y=-x′-\frac{2}{3}y′}\end{array}\right.$，代入曲线4x+y-1=0，计算即可．

解答 解：（Ⅰ）设点P（x，y）在矩阵M对应的变换作用下所得的点为P′（x′，y′），
则$\left\{\begin{array}{l}{x′=2x+y}\\{y′=3x}\end{array}\right.$即$[\begin{array}{l}{x′}\\{y′}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{2}&{1}\\{3}&{0}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$，
∴M=$[\begin{array}{l}{2}&{1}\\{3}&{0}\end{array}]$．
又det（M）=-3，
∴M^-1=$[\begin{array}{l}{0}&{-\frac{1}{3}}\\{-1}&{-\frac{2}{3}}\end{array}]$；
（Ⅱ）设点A（x，y）在矩阵M对应的变换作用下所得的点为A′（x′，y′），
则$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$=M^-1$[\begin{array}{l}{x′}\\{y′}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{0}&{-\frac{1}{3}}\\{-1}&{-\frac{2}{3}}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{x′}\\{y′}\end{array}]$，
即$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{3}y′}\\{y=-x′-\frac{2}{3}y′}\end{array}\right.$，
∴代入4x+y-1=0，得$4（-\frac{y′}{3}）-x′-\frac{2}{3}y′-1=0$，
即变换后的曲线方程为x+2y+1=0．

点评 本题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力及化归与转化思想，属于中档题．