Question

16．已知函数f（x）=e^x（lnx+k），（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数）．函数y=f（x）的导函数为f′（x），且f′（1）=0．
（1）求k的值；
（2）设g（x）=f′（x）-2[f（x）+e^x]，φ（x）=$\frac{e^x}{x}$，g（x）≤t•φ（x）恒成立．求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导数，利用f′（1）=0，即可求k的值；
（2）由g（x）≤tφ（x）得${e^x}（{\frac{1}{x}-1-lnx}）≤t•\frac{e^x}{x}$，分离参数，求最值，即可求实数t的取值范围．

解答 解：（1）$f'（x）={e^x}（{lnx+k}）+{e^x}•\frac{1}{x}$，
∴f'（1）=ek+e=0，∴k=-1…（4分）
（2）$g（x）={e^x}•（{\frac{1}{x}-1-lnx}）$，由g（x）≤tφ（x）得${e^x}（{\frac{1}{x}-1-lnx}）≤t•\frac{e^x}{x}$
即$\frac{1}{x}-1-lnx≤\frac{t}{x}（{x＞0}）$，∴t≥1-x-xlnx（x＞0）
令h（x）=1-x-xlnx，（x＞0），则h'（x）=-（lnx+2）=0，x=e^-2，
∴h（x）在（0，e^-2）↗，（e^-2，+∞）↘，
∴$h{（x）_{max}}=h（{{e^{-2}}}）=1+\frac{1}{e^2}$，
∴$t≥1+\frac{1}{e^2}$…（12分）

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查学生的计算能力，属于中档题．