Question

11．已知三棱锥P-ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，2AC=$\sqrt{3}$AB，若三棱锥P-ABC的体积为$\frac{3}{2}$，则该三棱锥的外接球的体积为（　　）

• A． 8$\sqrt{3}$π
• B． 6$\sqrt{3}$π
• C． 4$\sqrt{3}$π
• D． 2$\sqrt{3}$π

Answer 1

分析 如图所示，由于三棱锥P-ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，可得PO是三棱锥P-ABC的高，OA=OB=OC=OP=x，AC⊥BC．而2AC=$\sqrt{3}$AB，可得BC=x，AC=$\sqrt{3}$x．利用三棱锥的体积计算公式可得x，再利用球的体积计算公式即可得出．

解答 解：如图所示，
∵三棱锥P-ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，
∴PO是三棱锥P-ABC的高，OA=OB=OC=OP=x，
∴∠ACB=90°，
∴AC⊥BC．
∵2AC=$\sqrt{3}$AB，
∴∠ABC=60°，
∴BC=x，AC=$\sqrt{3}$x．
∴V_P-ABC=$\frac{1}{3}•{S}_{△ABC}•PO$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{3}{x}^{2}×x$=$\frac{3}{2}$，
解得x=$\sqrt{3}$．
∴该三棱锥的外接球的体积V=$\frac{4π}{3}{x}^{3}$=$4\sqrt{3}π$．
故选：C．

点评 本题考查了线面垂直的性质、三棱锥的体积计算公式、球的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．