Question

2．已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=$\frac{n+2}{n}$a_n，求通项公式a_n．

Answer 1

分析 把已知的数列递推式变形，然后利用累积法求数列的通项公式．

解答 解：由a_n+1=$\frac{n+2}{n}$a_n，得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{n+2}{n}$，
则${a}_{n}=\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}•\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}…\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}•{a}_{1}（n≥2）$
∴${a}_{n}=\frac{n+1}{n-1}•\frac{n}{n-2}•\frac{n-1}{n-3}•\frac{n-2}{n-4}…\frac{4}{2}•\frac{3}{1}•1$=$\frac{{n}^{2}+n}{2}$．
当n=1时上式显然成立．
∴${a}_{n}=\frac{{n}^{2}+n}{2}$．

点评 本题考查了数列递推式，考查了累积法求数列的通项公式，是中档题．