Question

19．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）与抛物线y²=8x有一个共同的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|=5，则点F到双曲线的渐进线的距离为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2
• C． $\sqrt{6}$
• D． 3

Answer 1

分析 根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得p和c的关系，根据抛物线的定义可以求出P的坐标，代入双曲线方程与p=2c，b²=c²-a²，解得a，b，得到渐近线方程，再由点到直线的距离公式计算即可得到．

解答 解：∵抛物线y²=8x的焦点坐标F（2，0），p=4，
抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，
∴p=2c，即c=2，
∵设P（m，n），由抛物线定义知：
|PF|=m+$\frac{p}{2}$=m+2=5，∴m=3．
∴P点的坐标为（3，$±2\sqrt{6}$）
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+{b}^{2}=4}\\{\frac{9}{{a}^{2}}-\frac{24}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
则渐近线方程为y=$±\sqrt{3}$x，
即有点F到双曲线的渐进线的距离为
d=$\frac{|2\sqrt{3}|}{\sqrt{3+1}}$=$\sqrt{3}$，
故选：A．

点评 本题主要考查了双曲线，抛物线的简单性质．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．解答关键是利用性质列出方程组．