Question

6．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，$sinA=\frac{{\sqrt{7}}}{4}$，a=2，sinC=2sinB，则b=$\sqrt{2}$或$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 由条件利用同角三角函数的基本关系求得cosA的值，再根据c=2b 利用余弦定理求得b的值．

解答 解：△ABC中，由$sinA=\frac{{\sqrt{7}}}{4}$，可得cosA=±$\frac{3}{4}$，
若cosA=$\frac{3}{4}$，又a=2，sinC=2sinB，可得c=2b，
再由余弦定理可得 a²=4=b²+（2b）²-2b•2b•cosA=2b²，求得b=$\sqrt{2}$，
若cosA=-$\frac{3}{4}$，又a=2，sinC=2sinB，可得c=2b，
再由余弦定理可得 a²=4=b²+（2b）²-2b•2b•cosA=8b²，求得b=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故答案为：$\sqrt{2}$或$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题主要考查正弦定理和余弦定理、同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．