Question

1．在一个数列中，如果对任意n∈N₊，都有a_na_n+1a_n+2=k（k为常数），那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列{a_n}是等积数列，且a₁=1，a₂=2，公积为8，记{a_n}的前n项和为S_n，则：
（1）a₅=2．
（2）S₂₀₁₅=4700．

Answer 1

分析 根据“等积数列”的概念，求出前几项的值，找出其具有周期性的规律，利用数列的求和公式即可求得答案．

解答 解：∵数列{a_n}是等积数列，且a₁=1，a₂=2，公积为8，
∴a₁•a₂•a₃=8，即1×2a₃=8，
∴a₃=4．
同理可求a₄=1，a₅=2，a₆=4，…
∴{a_n}是以3为周期的数列，
∴a_1+3k+a_2+3k+a_3+3k=1+2+4=7，
∵2015=671×3+2，
∴S₂₀₁₅=671×7+1+2=4700．
故答案分别为：2，4700．

点评 本题考查数列的求和，求得{a_n}是以3为周期的数列是关键，考查分析观察与运算能力，属于中档题．