Question

20．设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=a（a≠3），a_n+1=S_n+3ⁿ，n∈N^*．
（Ⅰ）设b_n=S_n-3ⁿ，求证：数列{b_n}是等比数列，并写出数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若a_n+1＞a_n对n∈N^*任意都成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过S_n+1-S_n=S_n+3ⁿ，可得S_n+1-3ⁿ⁺¹=2（S_n-3ⁿ），利用b₁=a-3≠0，可得数列{b_n}是首项为a-3，公比为2的等比数列，计算即可；
（Ⅱ）通过（I）知，（a-3）•2^n-1+2•3ⁿ-[（a-3）•2^n-2+2•3^n-1]＞0对n∈N^*任意都成立，计算即可．

解答 解：（Ⅰ）∵a_n+1=S_n+3ⁿ，∴S_n+1-S_n=S_n+3ⁿ，
∴S_n+1=2S_n+3ⁿ，∴S_n+1-3ⁿ⁺¹=2（S_n-3ⁿ），
又∵b_n=S_n-3ⁿ，∴$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=2，
又∵b₁=S₁-3=a-3≠0，
∴数列{b_n}是首项为a-3，公比为2的等比数列，
∴b_n=（a-3）•2^n-1；
（Ⅱ）由（I）知，S_n-3ⁿ=b_n=（a-3）•2^n-1，
∴S_n=（a-3）•2^n-1+3ⁿ，
∴a_n+1=S_n+3ⁿ=（a-3）•2^n-1+2•3ⁿ，
∴a_n=（a-3）•2^n-2+2•3^n-1（n≥2），
∵a_n+1＞a_n，即a_n+1-a_n＞0对n∈N^*任意都成立，
∴（a-3）•2^n-1+2•3ⁿ-[（a-3）•2^n-2+2•3^n-1]＞0，
化简得$\frac{3-a}{8}＜（\frac{3}{2}）^{n-1}$ （n≥2），
即$\frac{3-a}{8}＜\frac{3}{2}$，解得a＞-9，
而当n=1时，a₂-a₁=3＞0，
综上所述：a∈（-9，3）∪（3，+∞）．

点评 本题考查数列的递推公式、等比数列的通项公式，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．