Question

5．已知函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，π＜φ＜2π）为奇函数，且函数f（x）的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为$\frac{π}{2}$．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若f（α）=$\frac{3}{5}$，α为第二象限角，求tan（α-$\frac{π}{4}$）的值．

Answer 1

分析 （1）由题意和三角函数的图象和性质可得函数的周期，可得ω，再由奇偶性可得φ值，化简即可；
（2）由题意和同角三角函数的基本关系可得tanα，代入两角差的正切公式计算可得．

解答 解：（1）由题意可得函数f（x）的最小正周期T=4×$\frac{π}{2}$=2π，
∵ω＞0，由周期公式可得$\frac{2π}{ω}$=2π，解得ω=1，
再由f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，π＜φ＜2π）为奇函数可得φ=$\frac{3π}{2}$，
∴f（x）=cos（x+$\frac{3π}{2}$）=sinx；
（2）由f（α）=$\frac{3}{5}$可得sinα=$\frac{3}{5}$，又α为第二象限角，
∴cosα=-$\sqrt{1-si{n}^{2}α}$=-$\frac{4}{5}$，
∴tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=-$\frac{3}{4}$
∴tan（α-$\frac{π}{4}$）=$\frac{tanα-1}{1+tanα}$=$\frac{-\frac{3}{4}-1}{1-\frac{3}{4}}$=-7

点评 本题考查三角函数的图象和性质，涉及和差角的三角函数公式和同角三角函数的基本关系，属中档题．