已知动点A在椭圆 C:$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1上.动点B在直线 x=-2上.且满足 $\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$.椭圆C上点 $M(\frac{{\sqrt{3}}}{2}.3)$到两焦点距离之和为 4$\sqrt{3}$(Ⅰ)求椭圆C方程．(Ⅱ)判断直线AB与圆x2+y2=3� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

14．已知动点A在椭圆 C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上，动点B在直线 x=-2上，且满足 $\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$（O为坐标原点），椭圆C上点 $M（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，3）$到两焦点距离之和为 4$\sqrt{3}$
（Ⅰ）求椭圆C方程．
（Ⅱ）判断直线AB与圆x²+y²=3的位置关系，并证明你的结论．

分析（Ⅰ）由题意，$\left\{\begin{array}{l}{2a=4\sqrt{3}}\\{\frac{9}{{a}^{2}}+\frac{3}{4{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，求出a，b，即可求椭圆C方程．
（Ⅱ）设出点A，B的坐标分别为（x₀，y），（-2，t），直线AB的方程为（y₀-t）x-（x₀+2）y+（tx₀+2y₀）=0，由OA⊥OB得到t=$\frac{2{x}_{0}}{{y}_{0}}$，然后由圆x²+y²=3的圆心到AB的距离和圆的半径相等说明直线AB与圆x²+y²=3相切．

解答解：（Ⅰ）由题意，$\left\{\begin{array}{l}{2a=4\sqrt{3}}\\{\frac{9}{{a}^{2}}+\frac{3}{4{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，
∴a=2$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{3}$，
∴椭圆C方程为$\frac{{y}^{2}}{12}+\frac{{x}^{2}}{3}=1$．
（Ⅱ）直线AB与圆x²+y²=3相切，
证明如下：
设点A，B的坐标分别为（x₀，y₀），（-2，t），直线AB的方程为（y₀-t）x-（x₀+2）y+（tx₀+2y₀）=0．
∵OA⊥OB，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，即-2x₀+ty₀=0，解得t=$\frac{2{x}_{0}}{{y}_{0}}$．
圆心O到直线AB的距离d=$\frac{|t{x}_{0}+2{y}_{0}|}{\sqrt{（{y}_{0}-t）^{2}+（{x}_{0}+2）^{2}}}$=$\frac{6|4-{{x}_{0}}^{2}|}{\sqrt{12（{{x}_{0}}^{4}-8{{x}_{0}}^{2}+16）}}$=$\sqrt{3}$
∴直线AB与圆x²+y²=3相切．

点评本题考查椭圆的简单几何性质，考查了圆与圆锥曲线的综合，训练了由圆心到直线的距离判断直线和圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

练习册系列答案

本土教辅名校学案黄冈期末全程特训卷系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：高中数学 来源： 题型：解答题

4．

某市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况（单位：万元），将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），年上缴税收范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．
（I）求直方图中x的值；
（Ⅱ）如果年上缴税收不少于60万元的企业可申请政策优惠，若共抽取企业1200个，试估计有多少企业可以申请政策优惠；
（Ⅲ）从企业中任选4个，这4个企业年上缴税收少于20万元的个数记为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：解答题

5．已知函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，π＜φ＜2π）为奇函数，且函数f（x）的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为$\frac{π}{2}$．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若f（α）=$\frac{3}{5}$，α为第二象限角，求tan（α-$\frac{π}{4}$）的值．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：选择题

2．

某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5，40]中，其频率分布直方图如图所示．从抽样的100根棉花纤维中任意抽取一根，则其棉花纤维的长度小于20mm的概率是（　　）

A．

$\frac{3}{10}$

B．

$\frac{2}{5}$

C．

$\frac{3}{8}$

D．

$\frac{3}{5}$

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：选择题

9．设集合M={x|y=$\sqrt{x-1}$}，N={x|x²＜4}，则（∁_RM）∩N等于（　　）

A．

（-1，2）

B．

（-2，1）

C．

（-2，+∞）

D．

（-1，+∞）

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：解答题

19．已知函数f（x）=x²+3|x-a|（a＞0，记f（x）在[-1，1]上的最小值为g（a）．
（Ⅰ）求g（a）的表达式；
（Ⅱ）若对x∈[-1，1]，恒有f（x）≤g（a）+m成立，求实数m的取值范围．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：填空题

6．已知非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{b}$|=1，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$的夹角为120°，则|$\overrightarrow{a}$|的取值范围是（0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$]．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：选择题

3．设a=${log_{\frac{1}{2}}}\frac{2}{3}$，b=${log_{\frac{1}{2}}}\frac{1}{3}$，c=${（\frac{1}{2}）^{0.3}}$，则（　　）

A．

c＞b＞a

B．

a＞b＞c

C．

b＞a＞c

D．

b＞c＞a

查看答案和解析>>