Question

19．已知函数f（x）=x²+3|x-a|（a＞0，记f（x）在[-1，1]上的最小值为g（a）．
（Ⅰ）求g（a）的表达式；
（Ⅱ）若对x∈[-1，1]，恒有f（x）≤g（a）+m成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用分段的形式写出f（x），讨论①0＜a≤1时，②a＞1时，根据单调性，可得最小值g（a）；
（Ⅱ）令h（x）=f（x）-g（a），讨论①0＜a≤1时，②当a＞1时，求得h（x）的最大值，即可得到m的范围．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-3x+3a，x＜a}\\{{x}^{2}+3x-3a，x≥a}\end{array}\right.$，
∵a＞0，-1≤x≤1，
①0＜a≤1时，f（x）在[-1，a]上递减，在[a，1]上递增，则g（a）=f（a）=a²；
②a＞1时，f（x）在[-1，$\frac{3}{2}$]递减，则g（a）=f（1）=3a-2．
则有g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}，0＜a≤1}\\{3a-2，a＞1}\end{array}\right.$；
（Ⅱ）令h（x）=f（x）-g（a），
①0＜a≤1时，g（a）=a²，
当-1≤x≤a，h（x）=x²-3x+3a-a²在[-1，a]递减，
h（x）≤h（-1）=4+3a-a²≤6，
当a≤a≤1，h（x）=x²+3x-3a-a²在[a，1]上递增，
h（x）≤h（1）=4-3a-a²＜4，
②当a＞1时，g（a）=3a-2，h（x）=x²-3x+2≤h（-1）=6，
综上可得，h（x）=f（x）-g（a）在a＞0，-1≤x≤1上 的最大值为6．
即有h（x）≤m恒成立，即m≥6．
则m的取值范围是[6，+∞）．

点评 本题考查分段函数的运用，主要考查二次函数的最值的求法，运用函数的单调性和分类讨论的思想方法是解题的关键．