Question

9．设点P在曲线y=x²+1（x≥0）上，点Q在曲线y=$\sqrt{x-1}$（x≥1）上，则|PQ|的最小值为$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 曲线y=$\sqrt{x-1}$的图象在第一象限，要使曲线y=x²+1上的点与曲线y=$\sqrt{x-1}$上的点取得最小值，点P应在曲线y=x²+1的第一象限内的图象上，分析可知y=x²+1（x≥0）与y=$\sqrt{x-1}$互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称，所以，求出y=$\sqrt{x-1}$上点Q到直线y=x的最小值，乘以2即可得到|PQ|的最小值．

解答 解：由y=x²+1，得：x²=y-1，x=$±\sqrt{y-1}$．
所以，y=x²+1（x≥0）与y=$\sqrt{x-1}$互为反函数．
它们的图象关于y=x对称．
P在曲线y=x²+1上，点Q在曲线y=$\sqrt{x-1}$上，
设P（x，1+x²），Q（x，$\sqrt{x-1}$）
要使|PQ|的距离最小，则P应在y=x²+1（x≥0）上，
又P，Q的距离为P或Q中一个点到y=x的最短距离的两倍．
以Q点为例，Q点到直线y=x的最短距离
d=$\frac{|x-\sqrt{x-1}|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|（\sqrt{x-1}）^{2}+1-\sqrt{x-1}|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|（\sqrt{x-1}-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}|}{\sqrt{2}}$．
所以当$\sqrt{x-1}$=$\frac{1}{2}$，即x=$\frac{5}{4}$时，d取得最小值$\frac{3\sqrt{2}}{8}$，
则|PQ|的最小值等于2×$\frac{3\sqrt{2}}{8}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．
故答案为：$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查了反函数，考查了互为反函数图象之间的关系，考查了数学转化思想，解答此题的关键是把求两曲线上点的最小距离问题，转化为求一支曲线上的动点到定直线的最小距离问题，此题是中档题．