Question

14．在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$（α为参数），曲线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosβ}\\{y=2+2sinβ}\end{array}\right.$（β为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求C₁和C₂的极坐标方程；
（2）已知射线l₁：θ=α（0＜α＜$\frac{π}{2}$），将l₁逆时针旋转$\frac{π}{6}$得到l₂：θ=α+$\frac{π}{6}$，且l₁与C₁交于O，P两点，l₂与C₂交于O，Q两点，求|OP|•|OQ|取最大值时点P的极坐标．

Answer 1

分析 （1）先将参数方程转化为普通方程，然后利用极坐标方程和普通方程之间的关系进行转化即可；
（2）设极坐标方程，结合三角函数的最值性质进行求解即可．

解答 解：（1）曲线C₁的直角坐标方程为（x-2）²+y²=4，所以C₁极坐标方程为ρ=4cosθ，
曲线C₂的直角坐标方程为x²+（y-2）²=4，所以C₂极坐标方程为ρ=4sinθ       
（2）设点P极点坐标（ρ₁，α），即ρ₁=4cosα，
点Q极坐标为（ρ₂，α+$\frac{π}{6}$），即ρ₂=4sin（α+$\frac{π}{6}$），
则|OP||OQ|=ρ₁ρ₂=4cosα•4sin（α+$\frac{π}{6}$）=16cosα（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinα+$\frac{1}{2}$cosα）=8sin（2α+$\frac{π}{6}$）+4  
∵α∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴2α+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$），
当2α+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即α=$\frac{π}{6}$时，
|OP|•|OQ|取最大值，此时P极点坐标（2$\sqrt{3}$，$\frac{π}{6}$）．

点评 本题主要考查参数方程，极坐标方程和普通方程的转化，将参数方程和极坐标方程转化为普通方程是解决参数方程的基本方法．