Question

2．已知函数f（x）=4cosxsin（x+$\frac{π}{6}$）-1．
（Ⅰ）用五点法作出f（x）在一个周期内的简图；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位后再向上平移1个单位，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在[0，2π]内所有零点的和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函数恒等变换化简函数解析式可得y=f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），用列表描点连线即可作出f（x）在一个周期内的简图；
（Ⅱ）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得g（x）=2cos2x+1，令2cos2x+1=0可解得x的值，结合范围x∈[0，2π]求出各个零点，从而可求g（x）在[0，2π]内所有零点的和．

解答 （本题满分12分）
解：（Ⅰ）y=f（x）=4cosxsin（x+$\frac{π}{6}$）-1
=4cosx（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx+$\frac{1}{2}$cosx）-1
=$\sqrt{3}$sin2x+2cos²x-1
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）…2分
列表如下：

2x+$\frac{π}{6}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	-$\frac{π}{12}$	$\frac{2π}{12}$	$\frac{5π}{12}$	$\frac{8π}{12}$	$\frac{11π}{12}$
y	0	2	0	-2	0

∴f（x）的图象如图所示：
…6分
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位后再向上平移1个单位，得到函数g（x）=2sin[2（x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]+1=2cos2x+1…8分
令2cos2x+1=0可得2x=$\frac{2π}{3}+2kπ$或2x=$\frac{4π}{3}+2kπ$，k∈Z
所以解得：x=$\frac{π}{3}+kπ$，或x=$\frac{2π}{3}$+kπ，k∈Z
又x∈[0，2π]
故x=$\frac{π}{3}$或x=$\frac{2π}{3}$或x=$\frac{4π}{3}$或x=$\frac{5π}{3}$，
∴函数g（x）在[0，2π]内所有零点的和为4π…12分

点评 本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象，属于基本知识的考查．