Question

12．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-2（n∈N^*）．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=${a_n}{log_{\frac{1}{2}}}\frac{1}{a_n}$，试求{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）先由数列递推式求得首项，再取n=n-1得另一递推式，两式作差可得{a_n}是首项和公比都为2的等比数列，则其通项公式可求；
（2）把数列{a_n}的通项公式代入b_n=${a_n}{log_{\frac{1}{2}}}\frac{1}{a_n}$，整理后利用错位相减法求{b_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）当n=1时，由S_n=2a_n-2，及a₁=S₁ 可得a₁=2，
由S_n=2a_n-2①，可得S_n-1=2a_n-1-2（n≥2），
由①-②得：a_n=2a_n-1（n≥2）．
故{a_n}是首项和公比都为2的等比数列，通项公式为${a}_{n}={2}^{n}$；
（2）由（1）可得：b_n=${a_n}{log_{\frac{1}{2}}}\frac{1}{a_n}$=${2}^{n}•lo{g}_{\frac{1}{2}}\frac{1}{{2}^{n}}=n•{2}^{n}$．
则${T}_{n}=1×2+2×{2}^{2}+3×{2}^{3}+…+n×{2}^{n}$．
$2{T}_{n}=1×{2}^{2}+2×{2}^{3}$+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹．
两式相减可得：$-{T}_{n}=2+{2}^{2}+{2}^{3}+…+{2}^{n}-n×{2}^{n+1}$=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}-n×{2}^{n+1}=（1-n）•{2}^{n+1}-2$．
∴${T}_{n}=（n-1）•{2}^{n+1}+2$．

点评 本题考查了数列递推式，考查了等比数列的通项公式，训练了错位相减法求数列的和，是中档题．