Question

2．已知数列{a_n}是公比大于1的等比数列，其前n项和为S_n，且a₁，a₃是方程x²-5x+4=0的两根，则S₃=7．

Answer 1

分析 利用一元二次方程根与系数的关系得到$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+{a}_{3}=5}\\{{a}_{1}{a}_{3}=4}\end{array}\right.$，求解方程组得到a₁，a₃，再由等比中项的概念求得a₂，则S₃可求．

解答 解：∵a₁，a₃是方程x²-5x+4=0的两根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+{a}_{3}=5}\\{{a}_{1}{a}_{3}=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{{a}_{3}=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=4}\\{{a}_{3}=1}\end{array}\right.$．
∵数列{a_n}是公比大于1的等比数列，∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{{a}_{3}=4}\end{array}\right.$，
则${a}_{2}=\sqrt{1×4}=2$．
∴S₃=a₁+a₂+a₃=1+2+4=7．
故答案为：7．

点评 本题考查了等比数列的性质，考查了等比数列的前n项和，是基础的计算题．