Question

13．在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若AB=BB₁，D是CC₁中点，则CA₁与BD所成角的大小是（　　）

• A． $\frac{π}{3}$
• B． $\frac{5π}{12}$
• C． $\frac{π}{2}$
• D． $\frac{7π}{12}$

Answer 1

分析 由题意，画出图形，通过作平行线得到所求角的平面角，利用余弦定理求大小．

解答 解：如图过D作DE∥CA₁交A₁C₁于E，则E是A₁C₁的中点，连接BE，则∠BDE为CA₁与BD所成角，
设AB=2，则BD=$\sqrt{5}$，DE=$\sqrt{2}$，B₁E=$\sqrt{3}$，BE=$\sqrt{B{{B}_{1}}^{2}+{B}_{1}{E}^{2}}=\sqrt{7}$，
在△BDE中，cos∠BDE=$\frac{D{E}^{2}+B{D}^{2}-B{E}^{2}}{2DE×BD}=\frac{2+5-7}{2\sqrt{2}\sqrt{5}}$=0，
所以∠BDE=$\frac{π}{2}$；
故选：C．

点评 本题考查了正三棱柱的性质以及异面直线所成的角的求法；关键是找到平面角，利用余弦定理求值．