Question

7．已知凼数f（x）=e^x，x∈R
（1）求凼数h（x）=f（x）-2x的最小值
（2）令g（x）=$\frac{f（x）}{1+a{x}^{2}}$，a＞0，若g（x）在R上为单调凼数，求a的范围
（3）证明：曲线y=f（x）与曲线y=$\frac{1}{2}$x²+x+1有唯一公共点．

Answer 1

分析 （1）求出函数h（x）的导函数，得到函数的单调性，进一步求得极值点，求出函数的极值，也就是最值；
（2）求出函数g（x）的导函数，由g（x）在R上为单调凼数，得导函数大于等于0或小于等于0恒成立，再结合二次函数求得的范围；
（3）令h（x）=${e}^{x}-\frac{1}{2}{x}^{2}-x-1$，利用导数证明函数h（x）为单调函数，再结合函数零点存在定理得答案．

解答 （1）解：h（x）=f（x）-2x=e^x-2x，h′（x）=e^x-2．
当x∈（-∞，ln2）时，h′（x）0．
∴h（x）在（-∞，ln2）上为减函数，在（ln2，+∞）上为增函数，
∴$h（x）_{min}=h（ln2）={e}^{ln2}-2=0$；
（2）解：g（x）=$\frac{f（x）}{1+a{x}^{2}}$=$\frac{{e}^{x}}{1+a{x}^{2}}$．
${g}^{′}（x）=\frac{{e}^{x}（1+a{x}^{2}）-{e}^{x}（2ax）}{（1+a{x}^{2}）^{2}}$=$\frac{{e}^{x}（a{x}^{2}-2ax+1）}{（1+a{x}^{2}）^{2}}$．
∵g（x）在R上为单调凼数，∴g′（x）≥0或g′（x）≤0对任意实数x恒成立．
由g′（x）≥0，得ax²-2ax+1≥0恒成立，
∵a＞0，∴需△=（-2a）²-4a≤0，解得0＜a≤1；
∵a＞0，∴g′（x）≤0不满足对任意实数x恒成立．
∴实数a的范围是0＜a≤1；
（3）证明：令h（x）=${e}^{x}-\frac{1}{2}{x}^{2}-x-1$，则h′（x）=e^x-x-1，
令φ（x）=e^x-x-1，则φ（0）=0，
又φ′（x）=e^x-1，当x∈（-∞，0）上φ′（x）＜0，在x∈（0，+∞）上φ′（x）＞0．
∴φ（x）_min=0．
即h′（x）≥0．
∴h（x）为单调增函数，
又$f（1）•f（2）=（e-\frac{5}{2}）（{e}^{2}-5）＜0$．
∴h（x）有唯一零点，即曲线y=f（x）与曲线y=$\frac{1}{2}$x²+x+1有唯一公共点．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，考查了函数零点的判断，体现了数学转化思想方法，是压轴题．