Question

11．如图，已知E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，EF与AC交于点O，PA，NC都垂直于平面ABCD，且PA=AB=2NC，M是PA中点．
（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面NEF；
（Ⅱ）求二面角M-EF-N的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结BD，利用线面垂直的判定定理及中位线定理即可；
（Ⅱ）连OM，建立空间直角坐标系，所求值即为平面NEF的一个法向量与平面MEF一个法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可．

解答 解法1：（Ⅰ）连结BD，
∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴PA⊥BD，
又∵BD⊥AC，AC⊥PA=A，∴BD⊥平面PAC，
又∵E，F分别是BC、BD的中点，∴EF∥BD，
∴EF⊥平面PAC，又EF⊆平面NEF，
∴平面PAC⊥平面NEF；
（Ⅱ）设AB=4，建立如图所示的直角坐标系，
则P（0，0，4），C（4，4，0），E（4，2，0），
F（2，4，0），M（0，0，2），N（4，4，2），
∴$\overrightarrow{PC}=（4，4，-4）$，$\overrightarrow{EF}=（-2，2，0）$，
则$\overrightarrow{EN}=（0，2，2）$，$\overrightarrow{EN}$=（0，2，2），
设平面NEF的法向量为$\overrightarrow m=（x，y，z）$，
则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow m•\overrightarrow{EN}=0\\ \overrightarrow m•\overrightarrow{EF}=0\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}2y+2z=0\\-2x+2y=0\end{array}\right.$，
令x=1，得y=1，z=-1，
即$\overrightarrow m=（1，1，-1）$，
同理可求平面MEF一个法向量$\overrightarrow n=（1，1，3）$，
∴$cos＜\overrightarrow m，\overrightarrow n＞=\frac{1+1-3}{{\sqrt{3}×\sqrt{11}}}=-\frac{{\sqrt{33}}}{33}$，
∴二面角M-EF-N的余弦值为$\frac{\sqrt{33}}{33}$．

点评 本题考查线面垂直、面面垂直的判定定理，考查求二面角，涉及到向量数量积运算，注意解题方法的积累，属于中档题．