Question

4．已知函数f（x）=lnx-x-lna（x＞0），其中a＞0
（1）求函数h（x）=f（x）+$\frac{1}{2}{x^2}$-ax+（a-1）lnx的单调递增区间；
（2）若函数f（x）有两个零点x₁，x₂，且x₁＜x₂，求实数a的取值范围，并证明$\frac{x_2}{x_1}$随a的增大而减小．

Answer 1

分析 （1）确定函数的定义域，分类讨论，利用导数的正负可得函数的单调递增区间；
（2）f（x）要有两个零点，须满足f（1）＞0，即lna＜-1，可得a的取值范围是（0，e^-1）．设$F（x）=\frac{x}{e^x}$，则$F'（x）=\frac{1-x}{e^x}$，所以F（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，对于任意${a_1}，{a_2}∈（0，{e^{-1}}）$，且a₁＞a₂，设F（ξ₁）=F（ξ₂）=a₁，其中0＜ξ₁＜1＜ξ₂，证明ξ₁＞η₁，ξ₂＜η₂，即可得出结论．

解答 解：（1）$h（x）=alnx+\frac{1}{2}{x^2}-（a+1）x-lna$，定义域为（0，+∞）且a＞0，
因为$h'（x）=\frac{a}{x}+x-（a+1）=\frac{{{x^2}-（a+1）x+a}}{x}=\frac{（x-a）（x-1）}{x}$，…（2分）
①当a=1时，h'（x）≥0恒成立，所以h（x）的单调递增区间为（0，+∞）；…（3分）
②当a＞1时，所以h（x）的单调递增区间为（0，1）或（a，+∞）； …（5分）
③当0＜a＜1时，所以h（x）的单调递增区间为（0，a）或（1，+∞）． …（7分）
（2）由$f'（x）=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}=0$，得x=1．当x变化时，f'（x）、f（x）的变化如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-
f（x）	↗	-lna-1	↘

…（10分）
这时，f（x）的单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（1，+∞）．
当x大于0且无限趋近于0时，f（x）的值无限趋近于-∞；当x无限趋近于+∞时，f（x）的值无限趋近于-∞．
所以f（x）要有两个零点，须满足f（1）＞0，即lna＜-1，
所以a的取值范围是（0，e^-1）． …（12分）
因为x₁，x₂是函数f（x）的两个零点，即lnx₁-x₁-lna=0，lnx₂-x₂-lna=0，
则$a=\frac{x_1}{{{e^{x_1}}}}$，$a=\frac{x_2}{{{e^{x_2}}}}$．
因为f（1）=-lna-1且a∈（0，e^-1），则得x₁∈（0，1），x₂∈（1，+∞）．
设$F（x）=\frac{x}{e^x}$，则$F'（x）=\frac{1-x}{e^x}$，
所以F（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．
对于任意的${a_1}，{a_2}∈（0，{e^{-1}}）$，且a₁＞a₂，
设F（ξ₁）=F（ξ₂）=a₁，其中0＜ξ₁＜1＜ξ₂；F（η₁）=F（η₂）=a₂，其中0＜η₁＜1＜η₂；
因为F（x）在（0，1）上单调递增，故由a₁＞a₂，即F（ξ₁）＞F（η₁），可得ξ₁＞η₁；
类似可得ξ₂＜η₂．
由ξ₁＞η₁＞0，则$\frac{1}{ξ_1}＜\frac{1}{η_1}$，所以$\frac{ξ_2}{ξ_1}＜\frac{η_2}{η_1}$．
所以，$\frac{x_2}{x_1}$随a的增大而减小．  …（16分）

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，正确求导是关键．