Question

9．如图，在平面直角坐标系xOy中，A，B是圆O：x²+y²=1与x轴的两个交点（点B在点A右侧），点Q（-2，0），x轴上方的动点P使直线PA，PQ，PB的斜率存在且依次成等差数列．
（1）求证：动点P的横坐标为定值；
（2）设直线PA，PB与圆O的另一个交点为S，T，求证：点Q，S，T三点共线．

Answer 1

分析 （1）求得A，B的坐标，设P（x₀，y₀）（y₀≠0），运用直线的斜率公式，由等差数列的性质，化简整理，计算即可得到动点P的横坐标为定值；
（2）求出PA，PB的斜率，将PA的直线方程代入圆的方程，化简可得S的坐标，同理可得T的坐标，求得QS，QT的斜率，即可得到三点Q，S，T共线．

解答 证明：（1）由题意可知A（-1，0），B（1，0），
设P（x₀，y₀）（y₀≠0），则k_PQ=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$，k_PB=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-1}$，k_PA=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+1}$，
直线PA，PQ，PB的斜率存在且依次成等差数列，
即有2k_PQ=k_PA+k_PB，即$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-1}$+$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+1}$，
由y₀≠0，解得x₀=-$\frac{1}{2}$，
则动点P的横坐标为定值-$\frac{1}{2}$；
（2）由（1）知，P（-$\frac{1}{2}$，y₀），k_PA=$\frac{{y}_{0}}{-\frac{1}{2}+1}$=2y₀，k_PB=$\frac{{y}_{0}}{-\frac{1}{2}-1}$=-$\frac{2}{3}$y₀，
直线PA：y=2y₀（x+1），代入圆x²+y²=1得（1+4y₀²）x²+8y₀²x+4y₀²-1=0，
由于-1和x_S是方程的两根，
可得-x_S=$\frac{4{{y}_{0}}^{2}-1}{1+4{{y}_{0}}^{2}}$，即有x_S=$\frac{1-4{{y}_{0}}^{2}}{1+4{{y}_{0}}^{2}}$，y_S=$\frac{4{y}_{0}}{1+4{{y}_{0}}^{2}}$，
同理可得x_T=$\frac{4{{y}_{0}}^{2}-9}{4{{y}_{0}}^{2}+9}$，y_T=$\frac{12{y}_{0}}{4{{y}_{0}}^{2}+9}$，
由$\frac{{y}_{S}}{{x}_{S}+2}$=$\frac{4{y}_{0}}{（1-4{{y}_{0}}^{2}）+2（1+4{{y}_{0}}^{2}）}$=$\frac{4{y}_{0}}{3+4{{y}_{0}}^{2}}$，
$\frac{{y}_{T}}{{x}_{T}+2}$=$\frac{12{y}_{0}}{（4{{y}_{0}}^{2}-9）+2（9+4{{y}_{0}}^{2}）}$═$\frac{4{y}_{0}}{3+4{{y}_{0}}^{2}}$=$\frac{{y}_{S}}{{x}_{S}+2}$，
即有直线QS，QT的斜率相等，
则S，T，Q共线．

点评 本题考查圆的方程的运用，主要考查直线的斜率公式的运用，同时考查等差数列的性质和三点共线的求法，属于中档题．