Question

14．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=2BB₁，∠ABC=90°，D为BC的中点．
（Ⅰ）求证：A₁B∥平面ADC₁；
（Ⅱ）求二面角C-AD-C₁的余弦值；
（Ⅲ）若E为A₁B₁的中点，求AE与DC₁所成的角．

Answer 1

分析 可设AB=BC=2BB₁=2，以B为坐标原点，BA所在直线为x轴，BC所在直线为y轴，BB₁所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．
（Ⅰ）求得则有$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（-2，0，-1），$\overrightarrow{AD}$=（-2，1，0），$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-2，2，1），设平面ADC₁的法向量为$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x₁，y₁，z₁），运用向量垂直的条件，可得法向量，再由法向量和$\overrightarrow{{A}_{1}B}$垂直，即可得证；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得平面ADC₁的法向量和平面ACD的法向量，运用向量的数量积的坐标表示，求得它们夹角的余弦，即可得到所求；
（Ⅲ）求得向量$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{D{C}_{1}}$的坐标，运用向量的数量积的坐标表示，求得余弦，即可得到所求角．

解答 （Ⅰ）证明：可设AB=BC=2BB₁=2，以B为坐标原点，BA所在直线为x轴，BC所在直线为y轴，BB₁所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
A₁（2，0，1），B（0，0，0），A（2，0，0），
D（0，1，0），C₁（0，2，1），
则有$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（-2，0，-1），$\overrightarrow{AD}$=（-2，1，0），
$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-2，2，1），
设平面ADC₁的法向量为$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x₁，y₁，z₁），
由$\overrightarrow{{n}_{1}}⊥\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{{n}_{1}}⊥\overrightarrow{A{C}_{1}}$，可得-2x₁+y₁=0，且-2x₁+2y₁+z₁=0，
可取x₁=1，y₁=2，z₁=-2．即有$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（1，2，-2），
由于$\overrightarrow{{A}_{1}B}•\overrightarrow{{n}_{1}}$=-2+0+2=0，
即有$\overrightarrow{{A}_{1}B}⊥\overrightarrow{{n}_{1}}$，
则A₁B∥平面ADC₁；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得$\overrightarrow{AD}$=（-2，1，0），$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-2，2，1），$\overrightarrow{CD}$=（0，-1，0），
由C₁C⊥平面ABC，即有平面ABC的法向量为$\overrightarrow{C{C}_{1}}$=（0，0，1），
由（Ⅰ）可得平面ADC₁的法向量为$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（1，2，-2），
由cos＜$\overrightarrow{{n}_{1}}$，$\overrightarrow{C{C}_{1}}$＞=$\frac{\overrightarrow{C{C}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{1}}}{|\overrightarrow{{n}_{1}}|•|\overrightarrow{C{C}_{1}}|}$=$\frac{-2}{\sqrt{1+4+4}}$=-$\frac{2}{3}$．
故二面角C-AD-C₁的余弦值为$\frac{2}{3}$；
（Ⅲ）解：E为A₁B₁的中点，
则E（1，0，1），$\overrightarrow{AE}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=（0，1，1），
cos＜$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{D{C}_{1}}$＞=$\frac{\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{D{C}_{1}}}{|\overrightarrow{AE}|•|\overrightarrow{D{C}_{1}|}}$=$\frac{1}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$，
由0≤＜$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{D{C}_{1}}$＞≤π，可得＜$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{D{C}_{1}}$＞=$\frac{π}{3}$，
则AE与DC₁所成的角为$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查线面平行的判定和二面角的平面角以及异面直线所成角的求法，考查向量的运用，考查运算能力，属于中档题．