Question

5．已知f（x）=$\frac{1}{2}$ax²-x-ln（1+x），其中a＞0，求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 先求出函数f（x）的导数，令导函数为0，从而求出函数的单调区间．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{2}$ax²-x-ln（1+x），（a＞0，x＞-1），
∴f′（x）=ax-1-$\frac{1}{x+1}$=$\frac{{ax}^{2}+ax-x-2}{x+1}$，
令g（x）=ax²+（a-1）x-2=0，
△=（a-1）²+8a＞0，
∴x₁=$\frac{1-a-\sqrt{{a}^{2}+6a+1}}{2a}$，x₂=$\frac{1-a+\sqrt{{a}^{2}+6a+1}}{2a}$，
而x₁-（-1）=$\frac{1+a-\sqrt{{a}^{2}+6a+1}}{2a}$＜0，x₂-（-1）＞0，
∴x₁＜-1，x₂＞-1，x₁ 不在定义域内，舍，
∴令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1+a+\sqrt{{a}^{2}+6a+1}}{2a}$，
令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜$\frac{1+a+\sqrt{{a}^{2}+6a+1}}{2a}$，
∴函数f（x）在（-1，$\frac{1+a+\sqrt{{a}^{2}+6a+1}}{2a}$）递减，在（$\frac{1+a+\sqrt{{a}^{2}+6a+1}}{2a}$，+∞）递增．

点评 本题考查了函数的单调性，考查导数的应用，结合函数的定义域判断导函数的根的情况是解题的关键，本题是一道中档题．