Question

10．已知函数f（x）=lnx-ax-ln2．
（1）讨论y=f（x）的单调性；
（2）当a=1，时，对任意x∈（0，+∞），不等式f（x）≤bx-1恒成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）确定函数的定义域，分类讨论，利用导数的正负，可得y=f（x）的单调性；
（2）当a=1时，对任意x∈（0，+∞），不等式f（x）≤bx-1恒成立，等价于b≥$\frac{lnx}{x}$+$\frac{1-ln2}{x}$-1在（0，+∞）上恒成立，令g（x）=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{1-ln2}{x}$-1，求出函数的最大值，即可求实数b的取值范围．

解答 解：（1）y=f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=$\frac{1-ax}{x}$．
a≤0时，f′（x）＞0，y=f（x）在（0，+∞）上单调递增，
a＞0时，f′（x）＞0，可得0＜x＜$\frac{1}{a}$，f′（x）＜0，可得x＞$\frac{1}{a}$，
∴y=f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）上单调递增，在（$\frac{1}{a}$，+∞）上单调递减；
（2）当a=1时，对任意x∈（0，+∞），不等式f（x）≤bx-1恒成立，等价于b≥$\frac{lnx}{x}$+$\frac{1-ln2}{x}$-1在（0，+∞）上恒成立，
令g（x）=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{1-ln2}{x}$-1，则g′（x）=$\frac{ln2-lnx}{{x}^{2}}$=0，∴x=2，
当x∈（0，2），g′（x）＞0，当x∈（2，+∞），g′（x）＜0，
∴y=g（x）的最大值为g（2）=-$\frac{1}{2}$，
∴b≥-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．