Question

2．阿基米德“平衡法”的中心思想是：要算一个未知量（图形的体积或面积），先将它分成许多微小的量（如面分成线段，体积分成薄片等），再用另一组微小单元来进行比较．如图，已知抛物线y=$\frac{1}{4}$x²，直线l：x-2y+4=0与抛物线交于A、C两点，弦AC的中点为D，过D作直线平行于抛物线的对称轴Oy，交抛物线于点B，则抛物线弓形ABCD的面积与△ABC的面积之比是（　　）

• A． $\frac{3}{4}$
• B． $\frac{4}{3}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 联立直线与抛物线求出A，C的坐标，进一步求得B的坐标，利用两点间的距离公式求得AC的距离，再由点到直线的距离公式求得B到直线AC的距离，求得△ABC的面积，再由定积分求出弓形ABCD的面积得答案．

解答 解：联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{4}{x}^{2}}\\{x-2y+4=0}\end{array}\right.$，得x²-2x-8=0，解得：x_A=-2，x_C=4．
则y_A=1，y_C=4．
又弦AC的中点为D，∴${x}_{D}=\frac{-2+4}{2}=1$，则x_B=1，${y}_{B}=\frac{1}{4}$．
∴$|AC|=\sqrt{（4+2）^{2}+（4-1）^{2}}=3\sqrt{5}$．
B到直线l的距离d=$\frac{|1×1-2×\frac{1}{4}+4|}{\sqrt{{1}^{2}+（-2）^{2}}}=\frac{9}{10}\sqrt{5}$．
∴${S}_{△}=\frac{1}{2}×3\sqrt{5}×\frac{9}{10}\sqrt{5}=\frac{27}{4}$．
弓形ABCD的面积为：$\frac{1}{2}（1+4）×6$${-∫}_{-2}^{4}\frac{1}{4}{x}^{2}dx$=$15-\frac{1}{12}{x}^{3}{|}_{-2}^{4}$
=$15-\frac{1}{12}{4}^{3}+\frac{1}{12}•（-2）^{3}$=9．
∴抛物线弓形ABCD的面积与△ABC的面积之比是$\frac{4}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查了直线与圆锥曲线间的关系，考查了利用定积分求曲边梯形的面积，是中档题．