Question

15．已知函数f（x）=e^x-ax-1．
（1）当a=1时，试判断函数f（x）的单调性；
（2）对于任意的x∈[0，+∞），f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导函数，利用导数的正负，确定函数的单调性；
（2）f（x）≥0对任意的x∈[0，+∞），恒成立，即在x∈[0，+∞）上，f（x）_min≥0．分类讨论，构造函数，确定函数的单调性，即可求得实数a的值．

解答 解：（1）a=1时，f′（x）=e^x-1，
当x∈（-∞，0）时，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0．
∴f（x）在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；
（2）任意的x∈[0，+∞），f（x）≥0恒成立，即任意的x∈[0，+∞），f（x）_min≥0．
f′（x）=e^x-a，
当a≤1时，f′（x）＞0，f（x）在[0，+∞）上单调递增，f（x）_min=f（0）≥0，满足题意；
x∈（-∞，lna）时，f′（x）＜0；x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0；
a＞1时，由f′（x）=e^x-a=0得x=lna．
当x∈（0，lna）时，f′（x）＜0；当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0．
∴f（x）在（0，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增．
∴f（x）_min=f（lna）=e^lna-alna-1=a-alna-1≥0，
∴lna+$\frac{1}{a}$≤1，
设r（x）=lnx+$\frac{1}{x}$（x＞1），
∵r′（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$≥0，
∴r（x）=lnx+$\frac{1}{x}$在（1，+∞）单调递增，
∴r（a）＞r（1），
∴lna+$\frac{1}{a}$＞1，矛盾，不合题意，
综上，a≤1．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查恒成立问题，同时考查不等式的证明，解题的关键是正确求导数，确定函数的单调性．