Question

1．点P是双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1，（a＞0，b＞0）$上一点，F是右焦点，且△OPF为等腰直角三角形（O为坐标原点），则双曲线离心率的值是$\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$或$\frac{{\sqrt{10}+\sqrt{2}}}{2}$．

Answer 1

分析 分类讨论，确定a，c的关系，即可求出双曲线离心率的值．

解答 解：若|OF|=|PF|，则c=$\frac{{b}^{2}}{a}$，∴ac=c²-a²，∴e²-e-1=0，∵e＞1，∴e=$\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$；
若|OP|=|PF|=$\frac{c}{2}$，则P（$\frac{c}{2}$，$\frac{c}{2}$）代入双曲线方程可得e⁴-3e²+1=0，
∵e＞1，∴e=$\frac{{\sqrt{10}+\sqrt{2}}}{2}$．
故答案为：$\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$或$\frac{{\sqrt{10}+\sqrt{2}}}{2}$．

点评 本题考查双曲线离心率的值，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．