Question

13．已知不等式|x-2|≤1的解集与不等式2x²-ax+b＜0的解集相同．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求函数f（x）=a$\sqrt{x-3}$+b$\sqrt{15-4x}$的最大值及取得最大值时x的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用两个不等式的解集相同，集合根与系数的关系求a，b；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，将解析式变形为f（x）=4$\sqrt{4x-12}$+6$\sqrt{15-4x}$，利用柯西不等式求最值．

解答 解：（Ⅰ）不等式|x-2|≤1的解集为{x|1≤x≤3}，
所以方程2x²-ax+b=0的两根为x=1，x=3．
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+3=\frac{a}{2}}\\{1×3=\frac{b}{2}}\end{array}\right.$  解得a=8，b=6．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f（x）=8$\sqrt{x-3}$+6$\sqrt{15-4x}$的=4$\sqrt{4x-12}$+6$\sqrt{15-4x}$，
定义域为{x|3≤x≤$\frac{5}{4}$}．
所以（4²+6²）[（$\sqrt{4x-12}$）²+（$\sqrt{15-4x}$）²]≥（$\sqrt{4x-12}$+6$\sqrt{15-4x}$）²，．
则f（x）≤3$\sqrt{14}$，当且仅当x=$\frac{42}{13}$时取等号．
故当x=$\frac{42}{13}$时，f（x）的最大值为3$\sqrt{14}$．…（7分）

点评 本题考查了绝对值不等式的解法，一元二次不等式的解法以及利用柯西不等式求函数最值，属于中档题．