Question

9．已知点A（-$\sqrt{2}$，0），B（$\sqrt{2}$，0），动点E满足直线EA与直线EB的斜率之积为-$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求动点E的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设过点F（1，0）的直线l₁与曲线C交于点P，Q，记点P到直线l₂：x=2的距离为d．
（ⅰ）求$\frac{|PF|}{d}$的值；
（ⅱ）过点F作直线l₁的垂线交直线l₂于点M，求证：直线OM平分线段PQ．

Answer 1

分析 （1）直译法，利用斜率公式可求轨迹方程；
（2）先设出直线l₁的方程，然后带入椭圆方程，通过消元化简得到关于x的一元二次方程，结合韦达定理，点到直线距离公式将所求表示出来，带入结论化简即可；
（3）要证结论，只需分别求出直线OM的方程，PQ中点的坐标，然后证明坐标适合方程即可．

解答 解：（Ⅰ）设E（x，y），
依题意得${k}_{EA}•{k}_{EB}=\frac{y}{x+\sqrt{2}}•\frac{y}{x-\sqrt{2}}=-\frac{1}{2}．（x≠±\sqrt{2}）$，
整理得$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，
∴动点E的轨迹C的方程为 $\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1（x≠±\sqrt{2}）$．
（Ⅱ）（ⅰ）F（1，0），设P（x₁，y₁）则${{y}_{1}}^{2}=1-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2}$，
∴$\frac{|PF|}{d}=\frac{\sqrt{（1-{x}_{1}）^{2}+{{y}_{1}}^{2}}}{2-{x}_{1}}$=$\frac{\sqrt{1-2{x}_{1}+{{x}_{1}}^{2}+1-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2}}}{2-{x}_{1}}$
=$\frac{\sqrt{\frac{1}{2}（{x}_{1}-2）^{2}}}{2-{x}_{1}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（ⅱ）依题意，设直线PQ：x=my+1，Q（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$可得（2+m²）y²+2my-1=0，
显然$△＞0，{y}_{1}+{y}_{2}=-\frac{2m}{2+{m}^{2}}$，
所以线段PQ的中点T坐标为$（\frac{2}{2+{m}^{2}}，\frac{-m}{2+{m}^{2}}）$，
又因为FM⊥l₁故直线FM的方程为y=-m（x-1），
所以点M的坐标为（2，-m），
所以直线OM的方程为：$y=-\frac{m}{2}x$，
因为$T（\frac{2}{2+{m}^{2}}，\frac{-m}{2+{m}^{2}}）$满足方程$y=-\frac{m}{2}x$，
故OM平分线段PQ．

点评 本题主要考查直线、椭圆、轨迹等基础知识及直线与圆锥曲线的位置关系；考查运算求解能力、推理论证能力；考查特殊与一般的思想、化归与转化思想．