Question

14．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1•a_n=2ⁿ（n∈N^*），则S₂₀₁₅=（　　）

• A． 2²⁰¹⁵-1
• B． 2¹⁰⁰⁹-3
• C． 3×2¹⁰⁰⁷-3
• D． 2¹⁰⁰⁸-3

Answer 1

分析 由已知得数列{a_n}的奇数项是首项为1，公比为2的等比数列，偶数项是首项为2，公比为2的等比数列，由此能求出前2015项的和．

解答 解：∵a₁=1，a_n+1•a_n=2ⁿ，∴a₂=2，
∴当n≥2时，a_n•a_n-1=2^n-1，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{{2}^{n}}{{2}^{n-1}}$=2，
∴数列{a_n}中奇数项、偶数项分别成等比数列，
∴S₂₀₁₅=$\frac{1-{2}^{1008}}{1-2}$+$\frac{2（1-{2}^{1007}）}{1-2}$=2¹⁰⁰⁹-3，
故选：B．

点评 本题考查数列的前2015项的和的求法，是中档题，解题时要认真审题，解题的关键是推导出数列{a_n}的奇数项是首项为1，公比为2的等比数列，偶数项是首项为2，公比为2的等比数列．