Question

8．已知函数f（x）=x²-1，g（x）=a|x-1|．
（1）若当x∈R时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（2）求函数h（x）=|f（x）|+g（x）在区间[0，2]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据自变量的取值范围进行分类讨论求参数的范围即可，然后取交集求得实数a的取值范围；
（2）将所给的函数写成分段函数的形式，在每一段上对函数的最值进行讨论，求出最大值，再比较两段上的最值得到函数的最大值．

解答 解：（1）不等式f（x）≥g（x）对x∈R恒成立，即x²-1≥a|x-1|对x∈R恒成立，
①当x=1时，不等式显然成立，此时a∈R；
②当x≠1时，不等式可变形为a≤$\frac{{x}^{2}-1}{|x-1|}$，
令φ（x）=$\frac{{x}^{2}-1}{|x-1|}$=$\left\{\begin{array}{l}{x+1，（x＞1）}\\{-（x+1），（x＜1）}\end{array}\right.$．
∵当x＞1时，φ（x）＞2，当x＜1时，φ（x）＞-2，
∴φ（x）＞-2，故此时a≤-2．
综合①②，得所求实数a的取值范围是a≤-2．
（2）∵h（x）=|f（x）|+g（x）=|x²-1|+a|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+ax-a-1，（1≤x≤2）}\\{-{x}^{2}-ax+a+1，（0≤x＜1）}\end{array}\right.$．
当$\frac{a}{2}≥0$，即a≥0时，可知h（x）在[0，1]上递减，在[1，2]上递增，
且h（0）=a+1，h（2）=a+3，经比较，此时h（x）在[0，2]上的最大值为a+3．
当-1＜$\frac{a}{2}$＜0，即-2＜a＜0时，可知h（x）在[-$\frac{a}{2}$，1]上递减，在[0，-$\frac{a}{2}$]，[1，2]上递增，
且h（-$\frac{a}{2}$）=$\frac{{a}^{2}}{4}$+a+1，经比较，知此时h（x）在[0，2]上的最大值为a+3．
当$\frac{a}{2}=-1$，即a=-2时，可知h（x）在[0，1]，[1，2]上递增，h（x）在[0，2]上的最大值为a+3．
当-$\frac{3}{2}$≤$\frac{a}{2}$＜-1，即-3≤a＜-2时，可知h（x）在[1，-$\frac{a}{2}$]上递减，在[0，1]，[-$\frac{a}{2}$，2]上递增，
此时h（x）在[0，2]上的最大值为a+3．
当$\frac{a}{2}$＜-$\frac{3}{2}$，即a＜-3时，可知h（x）在[0，1]上递减，在[1，2]上递增，
故此时h（x）在[0，2]上的最大值为h（1）=0．
综上所述，a≥-3时，h（x）在[0，2]上的最大值为a+3；
当a＜-3时，h（x）在[0，2]上的最大值为0．

点评 本题考查函数的零点与方程的根的关系，解题的关键是根据所给的条件及相关知识对问题进行正确转化，本题比较抽象，对问题的转化尤其显得重要，本题在求解问题时用到了分类讨论的思想，转化化归的思想，数学综合题的求解过程中，常用到这两个思想，繁杂的分类使得该题难度较大．