Question

13．已知函数f（x）=$\frac{{x}^{3}+sinx}{{x}^{2}+cosx}$+1在区间[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上的最大值为M，最小值为m，则M+m=2．

Answer 1

分析 令u（x）=$\frac{{x}^{3}+sinx}{{x}^{2}+cosx}$，x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，由于u（-x）+u（x）=0，可得函数u（x）是奇函数，因此u（x）_max+u（x）_min=0，即可得出函数f（x）的最大值与最小值之和．

解答 解：令u（x）=$\frac{{x}^{3}+sinx}{{x}^{2}+cosx}$，x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，
∵u（-x）+u（x）=$\frac{-{x}^{3}-sinx}{{x}^{2}+cosx}$+$\frac{{x}^{3}+sinx}{{x}^{2}+cosx}$=0，
∴函数u（x）是奇函数，
∴u（x）_max+u（x）_min=0，
∴函数f（x）=$\frac{{x}^{3}+sinx}{{x}^{2}+cosx}$+1在区间[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上的最大值为M，最小值为m，
则M+m=u（x）_max+u（x）_min+2=2，
故答案为：2．

点评 本题考查了函数的奇偶性、问题的等价转化方法、分离构造函数方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．