Question

18．已知三次函数f（x）=$\frac{1}{3}$ax³+$\frac{1}{2}$bx²-6x+1（x∈R），a，b为实数．
（1）若a=3，b=3时，求函数f（x）的极大值和极小值；
（2）设函数g（x）=f′（x）+7有唯一零点，若b∈[1，3]，求g（1）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用导数判断函数的单调性，进而求得函数的极值；
（2）函数g（x）=f′（x）+7有唯一零点，所以△=b²-4a=0⇒a=$\frac{{b}^{2}}{4}$，得到g（1）=$\frac{1}{12}$（b-3）²-$\frac{23}{4}$，结合二次函数的性质，求得函数的最值，即可得出结论．

解答 解：（1）a=3，b=3时，f（x）=$\frac{1}{3}$ax³+$\frac{1}{2}$bx²-6x+1=x³+$\frac{3}{2}$x²-6x+1，
∴f′（x）=3x²+3x-6=3（x-1）（x+2），
令f′（x）=0，∴x=-2或x=1，

x	（-∞，-2）	-2	（-2，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	递增	极大值	递减	极小值	递增

∴f（x）_极大值=f（-2）=11，f（x）_极小值=f（1）=-$\frac{5}{2}$；
（2）g（x）=f′（x）+7=ax²+bx+1，∴g′（x）=2ax+b，
因为函数g（x）=f′（x）+7有唯一零点，所以△=b²-4a=0⇒a=$\frac{{b}^{2}}{4}$，
∴g（1）=$\frac{{b}^{2}}{4}$+b+1=（$\frac{b}{2}$+1）²，
∵b∈[1，3]，
∴b=1时，g（1）取到最小值$\frac{9}{4}$，
b=3时，g（1）取到最大值$\frac{25}{4}$，
∴$\frac{9}{4}$≤g（1）≤$\frac{25}{4}$．

点评 本题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值等知识，考查学生分析问题、解决问题的能力及运算求解能力，属于中档题．