Question

6．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²，g（x）=lnax（a＞0）
（1）若不等式若不等式f（x）＜g（x）解集为空集，求实数a的取值范围；
（2）求证，$\frac{2^2-1}{ln2}$+$\frac{3^2-1}{ln3}$+…+$\frac{n^2-1}{lnn}$＞2（n-1）．（n≥2，n∈N）

Answer 1

分析 （1）令h（x）=f（x）-g（x），把不等式f（x）＜g（x）解集为空集，转化为函数h（x）的最小值大于等于0，然后利用导数求得函数h（x）的最小值，由最小值大于等于0列不等式求得a的取值范围；
（2）由（1）可得函数φ（x）=$\frac{1}{2}$x²-lnx在（1，+∞）上为增函数，得到φ（n）＞φ（1），变形得到$\frac{{n}^{2}-1}{lnn}＞2$．由此可得要证的数列不等式．

解答 （1）解：令h（x）=f（x）-g（x）=$\frac{1}{2}$x²-lnax，
若不等式f（x）＜g（x）解集为空集，则h（x）_min≥0．
对h（x）求导，得${h}^{′}（x）=x-\frac{1}{x}=\frac{{x}^{2}-1}{x}$，
∵a＞0，∴h（x）的定义域为{x|x＞0}．
当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，h（x）为减函数；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）为增函数．
∴h（x）的最小值为h（1）=$\frac{1}{2}-lna$．
由$\frac{1}{2}-lna≥0$，解得：0$＜a≤\sqrt{e}$；
（2）证明：由（1）知：函数φ（x）=$\frac{1}{2}$x²-lnx在（1，+∞）上为增函数，
∴$\frac{1}{2}{n}^{2}-lnn＞\frac{1}{2}$，即$\frac{{n}^{2}-1}{lnn}＞2$．
∴$\frac{2^2-1}{ln2}$+$\frac{3^2-1}{ln3}$+…+$\frac{n^2-1}{lnn}$＞2（n-1）．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，考查了数学转化思想方法，对于（2）的数列不等式的证明，关键是灵活借助（1）中得到的函数φ（x）=$\frac{1}{2}$x²-lnx在（1，+∞）上为增函数，该题属中高档题．