Question

1．已知函数f（x）=m（x-1）e^x+x²，
（1）m=-1，求f（x）的单调区间；
（2）对任意的x＜0，不等式x²+（m+2）x＞f′（x）恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求导，再根据导数和函数的单调性的关系求出单调区间；
（2）求出f′（x），代入x²+（m+2）x＞f′（x），转化为$m＜\frac{x}{{e}^{x}-1}$恒成立，求出$\underset{lim}{x→{0}^{-}}\frac{x}{{e}^{x}-1}=\underset{lim}{x→{0}^{-}}\frac{1}{{e}^{x}}=1$．利用导数证得u=$\frac{x}{{e}^{x}-1}$在（-∞，0）内单调递减，从而得到使命题成立的m的范围．

解答 解：（1）当m=-1时，f（x）=-（x-1）e^x+x²，
∴f′（x）=-xe^x+2x=x（2-e^x），
令f′（x）=0，解得x=0，或x=ln2，
当f′（x）＞0，解得0＜x＜ln2，
当f′（x）＜0，解得x＜0，或x＞ln2，
故函数f（x）在（0，ln2）为增函数，在（-∞，0）和（ln2，+∞）为减函数；
（2）对任意的x＜0，不等式x²+（m+2）x＞f′（x）恒成立，
即x²+（m+2）x＞me^x+m（x-1）e^x+2x恒成立，也就是[m（e^x-1）-x]x＜0恒成立．
由于x＜0，故m（e^x-1）-x＞0恒成立．
又x＜0，e^x＜1，e^x-1＜0，
于是得：$m＜\frac{x}{{e}^{x}-1}$恒成立，
而$\underset{lim}{x→{0}^{-}}\frac{x}{{e}^{x}-1}=\underset{lim}{x→{0}^{-}}\frac{1}{{e}^{x}}=1$．
设u=$\frac{x}{{e}^{x}-1}$，由于${u}^{′}=\frac{{e}^{x}-1-x{e}^{x}}{（{e}^{x}-1）^{2}}=\frac{（1-x）{e}^{x}-1}{（{e}^{x}-1）^{2}}＜0$对任意x＜0都成立．
故u在（-∞，0）内单调递减，∴要使命题成立，则需m＜1．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了数学转化思想方法，考查了极限思想在解题中的运用，是难题．