Question

10．如图，经过村庄A有两条夹角60°为的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N（异于村庄A），要求PM=PN=MN=2（单位：千米）．记∠AMN=θ．
（1）将AN，AM用含θ的关系式表示出来；
（2）如何设计（即AN，AM为多长时），使得工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离AP最大）？

Answer 1

分析 （1）根据正弦定理，即可θ表示出AN，AM；
（2）设AP²=f（θ），根据三角函数的公式，以及辅助角公式即可化简f（θ）；根据三角函数的图象和性质，即可求出函数的最值．

解答 解：：（1）∠AMN=θ，在△AMN中，由正弦定理得：$\frac{MN}{sin6{0}^{°}}$=$\frac{AN}{sinθ}$=$\frac{AM}{sin（12{0}^{°}-θ）}$
所以AN=$\frac{4\sqrt{3}}{3}sinθ$，AM=$\frac{4\sqrt{3}}{3}sin（12{0}^{°}-θ）$
（2）AP²=AM²+MP²-2AM•MP•cos∠AMP
=$\frac{16}{3}$sin²（θ+60°）+4-$\frac{16\sqrt{3}}{3}$sin（θ+60°）cos（θ+60°）
=$\frac{8}{3}$[1-cos（2θ+120°）]-$\frac{8\sqrt{3}}{3}$sin（2θ+120°）+4
=$-\frac{8}{3}$[$\sqrt{3}$sin（2θ+120°）+cos（2θ+120°）]+$\frac{20}{3}$
=$\frac{20}{3}$-$\frac{16}{3}$sin（2θ+150°），θ∈（0°，120°）（其中利用诱导公式可知sin（120°-θ）=sin（θ+60°））
当且仅当2θ+150°=270°，即θ=60°时，工厂产生的噪声对居民的影响最小，此时AN=AM=2．
故答案为：（1）AN=$\frac{4\sqrt{3}}{3}sinθ$，AM=$\frac{4\sqrt{3}}{3}sin（12{0}^{°}-θ）$
（2）AN=AM=2时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．

点评 本题主要考查与三角函数有关的应用问题，利用正弦定理以及三角函数的三角公式是解决本题的关键．