Question

5．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左顶点为A（-3，0），左焦点恰为圆x²+2x+y²+m=0（m∈R）的圆心M．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点A且与圆M相切于点B的直线，交椭圆C于点P，P与椭圆C右焦点的连线交椭圆于Q，若三点B，M，Q共线，求实数m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）圆M方程变形找出M坐标，确定出c的值，由顶点A坐标确定出a的值，进而求出b的值，即可确定出椭圆C的方程；
（Ⅱ）设AP方程为x=ty-3（t≠0），代入椭圆方程，消去x表示出P的纵坐标，进而表示出横坐标，再表示出Q坐标，根据B，M，Q三点共线，得到MQ与AP垂直，即直线MQ与直线AP斜率乘积为-1，求出t的值，确定出直线AP方程，进而求出m的值．

解答 解：（Ⅰ）圆M方程变形得：（x+1）²+y²=1-m，即M（-1，0），
∴c=1，
∵顶点A（-3，0），∴a=3，
∴b²=a²-c²=9-1=8，
则椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1；
（Ⅱ）设AP方程为x=ty-3（t≠0），代入椭圆方程得：（8t²+9）y²-48ty=0，
解得：y_A=0，y_P=$\frac{48t}{8{t}^{2}+9}$，
∴x_P=ty_P-3=$\frac{24{t}^{2}-27}{8{t}^{2}+9}$，
∵右焦点坐标为（1，0），
∴PQ方程为x=$\frac{4{t}^{2}-9}{12t}$y+1，代入椭圆方程得：$\frac{（8{t}^{2}+9）（2{t}^{2}+9）}{18{t}^{2}}$y²+$\frac{16{t}^{2}-36}{3t}$y-64=0，
∴y_Py_Q=$\frac{-64×18{t}^{2}}{（8{t}^{2}+9）（2{t}^{2}+9）}$，即y_Q=$\frac{-24t}{2{t}^{2}+9}$，
∴x_Q=$\frac{4{t}^{2}-9}{12t}$y_Q+1=$\frac{27-6{t}^{2}}{2{t}^{2}+9}$，
由B，M，Q三点共线，可得MQ⊥AP，即k_MQ•k_AP=-1，
∴$\frac{-6t}{t（9-{t}^{2}）}$=-1，
解得：t=±$\sqrt{3}$，
∴直线AP方程为x=±$\sqrt{3}$y-3，
则圆心M到AP的距离为1，即圆半径为$\sqrt{1-m}$=1，
则m=0．

点评 此题考查了直线与圆锥曲线方程，以及椭圆的标准方程，熟练掌握椭圆的性质是解本题第一问的关键．