Question

11．已知函数f（x）=ax²+ln（x+1）（a∈R）．
（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x∈[0，+∞）时，函数y=f（x）图象上的点都在$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{x-y≥0}\end{array}\right.$，所表示的平面区域内，求实数a的取值范围．
（Ⅲ）将函数y=f（x）的导函数的图象向右平移一个单位后，再向上平移一个单位，得到函数y=g（x）的图象，试证明：当a=$\frac{1}{2}$时，[g（x）]ⁿ-g（xⁿ）≥2ⁿ-2（n∈N⁺）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=2时，求导数，即可求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）因函数f（x）图象上的点都在$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{x-y≥0}\end{array}\right.$所表示的平面区域内，则当x∈[0，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，即ax²+ln（x+1）-x≤0恒成立，设g（x）=ax²+ln（x+1）-x（x≥0），只需g（x）_max≤0即可，分类讨论，即可得到结论；
（Ⅲ）当a=$\frac{1}{2}$时，g（x）=x+$\frac{1}{x}$（x＞0），可得[g（x）]ⁿ-g（xⁿ）=（x+$\frac{1}{x}$）ⁿ-（xⁿ+$\frac{1}{{x}^{n}}$），利用二项式定理展开，结合组合知识、基本不等式，即可证明结论．

解答 解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=2x²+ln（x+1）（x＞-1），
f′（x）=$\frac{（2x+1）^{2}}{x+1}$≥0，
故函数f（x）的单调递增区间为（-1，+∞）；
（Ⅱ）因函数f（x）图象上的点都在$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{x-y≥0}\end{array}\right.$所表示的平面区域内，则当x∈[0，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，即ax²+ln（x+1）-x≤0恒成立，
设g（x）=ax²+ln（x+1）-x（x≥0），只需g（x）_max≤0即可．
由g′（x）=$\frac{x[2ax+（2a-1）]}{x+1}$，
（ⅰ）当a=0时，g′（x）=$\frac{-x}{x+1}$，当x＞0时，g′（x）＜0，函数g（x）在（0，+∞）上单调递减，
故g（x）≤g（0）=0成立．
（ⅱ）当a＞0时，由g′（x）=$\frac{x[2ax+（2a-1）]}{x+1}$=0，因x∈[0，+∞），所以x=$\frac{1}{2a}$-1，
①若$\frac{1}{2a}$-1＜0，即a＞$\frac{1}{2}$时，在区间x∈（0，+∞）上，g′（x）＞0，则函数g（x）在x∈[0，+∞）上单调递增，g（x）在x∈[0，+∞）上无最大值，此时不满足条件；
②$\frac{1}{2a}$-1≥0若，即0＜a≤$\frac{1}{2}$时，函数g（x）在（0，$\frac{1}{2a}$-1）上单调递减，在区间（$\frac{1}{2a}$-1，+∞）上单调递增，
同样g（x）在x∈[0，+∞）上无最大值，不满足条件．
（ⅲ）当a＜0时，由g′（x）=$\frac{x[2ax+（2a-1）]}{x+1}$，∵x∈[0，+∞），∴2ax+（2a-1）＜0，
∴g′（x）＜0，故函数g（x）在x∈[0，+∞）上单调递减，故g（x）≤g（0）=0成立．
综上所述，实数a的取值范围是（-∞，0]．
（Ⅲ）f′（x）=2ax+$\frac{1}{x+1}$，∴g（x）=2a（x-1）+$\frac{1}{x}$+1，
当a=$\frac{1}{2}$时，g（x）=x+$\frac{1}{x}$（x＞0）
∴[g（x）]ⁿ-g（xⁿ）=（x+$\frac{1}{x}$）ⁿ-（xⁿ+$\frac{1}{{x}^{n}}$）
=（xⁿ+${C}_{n}^{1}$x^n-1•$\frac{1}{x}$+…+$\frac{1}{{x}^{n}}$）-（xⁿ+$\frac{1}{{x}^{n}}$）
=${C}_{n}^{1}$x^n-2+…+${C}_{n}^{n-1}{x}^{2-n}$．
令T=${C}_{n}^{1}$x^n-2+…+${C}_{n}^{n-1}{x}^{2-n}$，
则T=${C}_{n}^{n-1}{x}^{2-n}$+…+${C}_{n}^{1}$x^n-2，
∵x＞0，
∴2T=${C}_{n}^{1}$（x^n-2+x^2-n）+…+${C}_{n}^{n-1}$（x^n-2+x^2-n）≥${C}_{n}^{1}$•$2\sqrt{{x}^{n-2}•{x}^{2-n}}$+…+${C}_{n}^{n-1}$•$2\sqrt{{x}^{n-2}•{x}^{2-n}}$
=2（${C}_{n}^{1}$+…+${C}_{n}^{n-1}$）=2（2ⁿ-2）
∴T≥2ⁿ-2，即[g（x）]ⁿ-g（xⁿ）≥2ⁿ-2．…（14分）

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，难度大．