Question

14．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）[ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$]的图象经过点（0，$\frac{1}{2}$），且相邻两条对称轴的距离为$\frac{π}{2}$，求函数f（x）的解析式及其在[0，π]上的单增区间．

Answer 1

分析 根据图象求出A，T，求出ω，图象经过（0，$\frac{1}{2}$），求出φ，然后求f（x）的解析式，再根据正弦函数的图象得到在[0，π]上的单增区间．

解答 解：∵相邻两条对称轴的距离为$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$T=$\frac{π}{2}$，
∴T=π，
∴ω=$\frac{2π}{π}$=2，
∴f（x）=sin（2x+φ），
∵图象经过点（0，$\frac{1}{2}$），
∴f（0）=sinφ=$\frac{1}{2}$，
∵0＜φ＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{6}$，
∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∴单调增区间为2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，
∴kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，
当k=0时，-$\frac{π}{3}$≤x≤$\frac{π}{6}$，
当k=1时，$\frac{2π}{3}$≤x≤$\frac{7π}{6}$，
∴在[0，π]上的单增区间为[0，$\frac{π}{6}$]，[$\frac{2π}{3}$，π]．

点评 本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，着重考查正弦函数的单调性，考查运算求解能力，属于中档题