Question

4．设数列{a_n}的前n项和是S_n，数列{S_n}的前n项乘积是T_n，若S_n+T_n=1，若数列{a_n}中的项a${\;}_{{n}_{0}}$最接近$\frac{1}{2015}$，则n₀=44．

Answer 1

分析 通过前几项的值猜想S_n=$\frac{n}{n+1}$，从而a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{n（n+1）}$，计算即可．

解答 解；当n=1时，S₁+T₁=1，即S₁=$\frac{1}{2}$，
当n=2时，S₂+S₁S₂=1，即S₂=$\frac{2}{3}$，
当n=3时，S₃+S₁S₂S₃=1，即S₃=$\frac{3}{4}$，
…，
猜想S_n=$\frac{n}{n+1}$，从而a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{n（n+1）}$，
令n₀（n₀+1）=2015，∴n₀∈（44，45），
∵a₄₄=$\frac{1}{1980}$，a₄₅=$\frac{1}{2070}$，
因此n₀=44，
故答案为：44．

点评 本题考查数列的通项公式，注意解题方法的积累，属于中档题．